\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{article}
\usepackage{floatflt, graphicx}
\usepackage{icomma}
\usepackage{title}

\usepackage{geometry}
\geometry{tmargin=25mm,bmargin=25mm,lmargin=15mm,rmargin=15mm}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{pslatex}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[implicit=false,bookmarksnumbered=true]{hyperref}

\let\Oldcaption\caption
\let\Oldthefigure\thefigure
\renewcommand{\caption}[1]{
%   \renewcommand{\thefigure}{\Oldthefigure {\scriptsize \thesubsection}}
  \Oldcaption{#1 \quad (\thesubsection)}
%   \let\thefigure\Oldthefigure
}


\def\thesection{\Alph{section}}
\newcommand{\unit}[1]{\ensuremath{\, \mathrm{#1}}}
\def\j{{\bf j}\,}

% \let\Oldfrac\frac
% \def\frac#1#2{\displaystyle\Oldfrac{#1}{#2}}
\hyphenation{oskillo-skoopin}

\begin{document}

\fancyhf{}
\lhead{TLT-5100}
\chead{\leftmark}
\rhead{\thepage/\pageref{LastPage}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{\thesection\quad#1}{}}

\selectlanguage{finnish}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 2ex}

\author{Petteri Aimonen, 205441}
\date{1.4.2009}

\title{TLT-5100 Laboratoriotyö 2009} \maketitle

\section{Yleismittari ja oskilloskooppi}
\subsection{Yleismittari}
Työpaikan komponenttien arvot mitattiin yleismittarilla:

\begin{tabular}{l|r|r|r}
Komponentti & Määrä (kpl) & Nimellisarvo & Mitattu arvo tai arvot\\
\hline
Vastus & 2 & $390\unit{\Omega}$ & $386\unit{\Omega}$, $387\unit{\Omega}$ \\
Vastus & 2 & $1\unit{k\Omega}$ & $1000\unit{\Omega}$, $998\unit{\Omega}$ \\
Kondensaattori & 2 & $0.1\unit{µF}$ & $94.6\unit{nF}$, $96.9\unit{nF}$ \\
Kondensaattori & 2 & $10\unit{µF}$ & $10.60\unit{µF}$, $10.54\unit{µF}$ \\
Diodi & 2 & & $0.599\unit{V}$, $0.597\unit{V}$ \\
Kela & 1 & & $1.3\unit{\Omega}$
\end{tabular}

\subsection{Oskilloskooppi}
Tehtävässä tutkittiin $1\unit{k\Omega}$ vastukseen kytkettyä signaaligeneraattoria. Signaaligeneraattori
tuotti tehollisarvoltaan 70 mV sinimuotoisen vaihtojännitteen, jossa oli 1 V tasajännitekomponentti:
\[V_R(t) = \sqrt{2} \cdot 70\unit{mV} \cdot \sin(2 \pi \cdot 10\unit{kHz} \cdot t) + 1.0\unit{V}\]

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{a2spektri.pdf}
\caption{Jännitteen $V_R$ teorian mukainen amplitudispektri}
\end{figure}

Vastuksessa tapahtuva tehohäviö saadaan laskemalla erikseen tasajännite- ja vaihtojännitekomponenttien aiheuttamat tehot:
\[P_R^{AC} = \frac{(70\unit{mV})^2}{1\unit{k\Omega}} = 4.9\unit{µW} \approx -23\unit{dBm}\]
\[P_R^{DC} = \frac{(1.0\unit{V})^2}{1\unit{k\Omega}} = 1\unit{mW} = 0\unit{dBm}\]

Summateho on siis:
\[P_R = P_R^{AC} + P_R^{DC} = 1.0049\unit{mW} \approx 0.021\unit{dBm}\]

Mittauksissa luettiin oskilloskoopin näytöltä signaalin aikatason muoto, joka
on esitetty kuvassa \ref{a2skooppi}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{a2skooppi.pdf}
\caption{Jännitteen $V_R$ mitattu aikatason kuva}
\label{a2skooppi}
\end{figure}

\subsection{Differentiaalimittaus}
Tarkasteltavana on kuvan \ref{difmittaus} kytkentä seuraavilla komponenttiarvoilla:
\[
R = 390\unit{\Omega}\\
C = 0.1\unit{µF}\\
V_{R+C} = 1\unit{V}\\
f = 1\unit{kHz}\\
V_{DC} = 0\unit{V}
\]

Koska signaaligeneraattori ja oskilloskooppi ovat yhteydessä sähköverkon maan kautta, ei oskilloskoopin maata voida kytkeä suoraan mitattavan vastuksen toiselle puolelle. Sen sijaan on käytettävä differentiaalista mittaustapaa, jossa oskilloskooppi näyttää kahden kanavan erotussignaalia.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{a3kytkennat.pdf}
\caption{Differentiaalinen mittaustapa} \label{difmittaus}
\end{figure}

Differentiaalisella mittaustavalla saadut tulokset ovat allaolevassa taulukossa.
Oskilloskoopin näytöltä luettiin huippujännitteet, joista on laskettu taulukkoon
tehollisarvot kaavalla $V = \frac{V^\text{huippu}}{\sqrt{2}}$. Lisäksi mitattiin
jännitteet yleismittarilla tulosten varmistamiseksi.

\begin{tabular}{l|r|r}
Suure & Jännite yleismittarilla (V) & Jännite oskilloskoopilla (V) \\
\hline
$V_{R+C}$ & 1.008 & 1.060\\
$V_R$ & 0.235 & 0.212\\
$V_C$ & 0.980 & 0.990
\end{tabular}

\section{Kondensaattori}
\subsection{Mitä kapasitanssi on?}
Tutkitaan kondensaattoria ($C = 0.1\unit{µF}$), joka on kytketty sarjaan jännitelähteen
ja kytkimen kanssa. Kytkin suljetaan ajanhetkellä $t_0$ ja oskilloskoopin mittapää kytketään
lähtöön ajanhetkellä $t_1$. Tarkastellaan jännitteen muuttumista päättelyn ja mittausten pohjalta.

Kondensaattori on mittauksen aluksi tyhjä, eli sen yli ei ole jännite-eroa. Vaikka kytkin suljetaan, on kondensaattori yhä tyhjä, koska sen läpi ei kulje virtaa joka lataisi sen. Siksi $v_0(t_0) = 5\unit{V}$.
Ajanhetken $t_1$ jälkeen kondensaattori latautuu jatkuvasti, ja on käytännössä täyteen varautunut muutaman sekunnin kuluessa.

Mittauksissa käytettäessä suoraa mittapäätä (ottoimpedanssi $1\unit{M\Omega}$)
jännite laski lähelle nollaa n. 0.5 sekunnin kuluessa. Vaimentavalla mittapäällä
(ottoimpedanssi $10\unit{M\Omega}$) kesti noin 2 sekuntia. Vastaavat aikavakiot ovat:
\[
\tau^\text{1x} = RC = 1\unit{M\Omega} \cdot 0.1\unit{µF} = 0.1\unit{s}\\
\tau^\text{10x} = 10\unit{M\Omega} \cdot 0.1\unit{µF} = 1\unit{s}
\]

Aikavakio kertoo ajan, jossa ulostulojännite putoaa $\frac{1}{e} \approx 37\%$
osaan alkuarvostaan. Kuvassa \ref{b1kayra} on piirretty jännitteen kuvaaja
aikavakioiden perusteella.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{b1kayra.pdf}
\caption{Ulostulojännite kondensaattorin latautuessa}
\label{b1kayra}
\end{figure}

\subsection{Biasointipiiri}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{b2kytkenta.pdf}
\caption{Biasointipiiri}
\label{biasschema}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{b2kayra.pdf}
\caption{Biasointipiirin syöte ja vaste}
\label{b2kayra}
\end{figure}

Tarkastellaan kuvan \ref{biasschema} biasointikytkentää. Kytkentään tuodaan
signaaligeneraattorista $1\unit{V}$, $1\unit{kHz}$ vaihtojännite. Mitattu
syöte ja vaste on esitetty kuvassa \ref{b2kayra}.

Kondensaattori ei tässä kytkennässä aiheuta vaihe-eroa, koska sen kapasitanssi on hyvin
suuri suhteessa signaalin taajuuteen ja kytkennän virtaan. Se ei siis juurikaan
ehdi latautua tai purkautua jännitteen muuttuessa. Asiaa voidaan tarkastella
myös aikavakion ja signaalin jaksonajan kautta. Havaitaan, että jaksonaika
on merkittävästi lyhyempi kuin aikavakio:
\[
\tau = RC = \frac{1\unit{k\Omega}}{2} \cdot 10\unit{µF} = 5\unit{ms}\\
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1\unit{kHz}} = 1\unit{ms}
\]

Biasointipiiriä tarvitaan esimerkiksi transistorin saattamiseksi toiminta-alueelle. Useimmilla transistoreilla lineaarinen alue on noin 0.7 voltin kantajännitteen kohdalla. Tällöin vastuksilla asetetaan tasajännitekomponentti sopivaksi ja kondensaattorin läpi tuodaan vaihtojännitekomponentti vahvistettavaksi.

\subsection{Kondensaattorin impedanssi}
Lasketaan $0.1\unit{µF}$ kondensaattorin impedanssi $1\unit{kHz}$ taajuudella, sekä sen läpi menevä virta kun jännitteen tehollisarvo on $5\unit{V}$:
\[
{\bf Z}_C = \frac{1}{\j \omega C}
= \frac{1}{\j \cdot 2 \pi \cdot 1\unit{kHz} \cdot 0.1\unit{µF}}
\approx -\j 1592 \unit{\Omega}
\]
\[
{\bf I}_C = \frac{{\bf V}_C}{{\bf Z}_C}
= \frac{5 \angle 0^\circ \unit{V}}{-\j 1592 \unit{\Omega}}
\approx 3.14 \angle 90^\circ \unit{mA}
\]

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{b3kayrat.pdf}
\caption{Jännitteen ja virran aaltomuodot}
\label{b3kayrat}
\end{figure}

Jännitteen ja virran aaltomuodot on esitetty kuvassa \ref{b3kayrat}.

Kondensaattorin impedanssi määritettiin myös yleismittarilla mittaamalla
virta ja jännite:
\[
V_C = 5.0\unit{V}\\
I_C = 3.15\unit{mA}\\
Z = \frac{V_C}{I_C} \approx 1587 \unit{\Omega}
\]

\subsection{Impedanssin riippuvuus taajuudesta}
Lasketaan edellisen kohdan kondensaattorin impedanssin arvoja taajuuksilla $1$--$10\unit{kHz}$,
sekä määritetään vastaavat arvot yleismittarilla mittaamalla. Tulokset
on esitetty myös kuvassa \ref{b4kayra}.

\begin{tabular}{r|r|r}
Taajuus (kHz) & Laskettu impedanssi ($\Omega$) & Mitattu impedanssi ($\Omega$)\\
\hline
1 & 1592 & 1587\\
3 & 531 & 543\\
5 & 318 & 332\\
7 & 227 & 242\\
10 & 159 & 177\\
\end{tabular}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{b4kayra.pdf}
\caption{Kondensaattorin impedanssin riippuvuus taajuudesta}
\label{b4kayra}
\end{figure}

\subsection{Teho on virran ja jännitteen tulo}
\[{\bf P}_C = {\bf V}_C \cdot {\bf I}_C
= 5 \angle 0^\circ V \cdot 3.14 \angle 90^\circ \unit{mA}
= \j 15.7 \unit{mW}\]

Saatu teho on kokonaan loistehoa eikä ideaalinen kondensaattori siksi lämpene.
Käytännön kondensaattorissa on resistanssia, joka lämmittää sitä.

\section{RC-ylipäästösuodin}
\subsection{RC-suodattimen virta ja jännitteet}
Tarkastellaan RC-ylipäästösuodinta, ja lasketaan sen virta ja osien yli olevat
jännitteet, kun sisään tuodaan $5\unit{V}$, $2\unit{kHz}$ vaihtojännite.
Osien arvot ovat $390\unit{\Omega}$ ja $0.1\unit{µF}$.

\[{\bf Z}_C = \frac{1}{\j \omega C} = -\j 795.77\ldots \unit{\Omega}\]
\[{\bf I} = \frac{{\bf V}_i}{\bf Z} = \frac{5\angle 0^\circ V}{390\unit{\Omega} -\j795.77\ldots \unit{\Omega}}
\approx 5.64 \angle 63.89^\circ \unit{mA}\]
\[{\bf V}_C = {\bf I} \cdot {\bf Z}_C \approx 4.49 \angle -26.11^\circ \unit{V}\]
\[{\bf V}_R = {\bf I} \cdot 390 \unit{\Omega} = 2.20 \angle 63.89^\circ \unit{V}\]

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{c1osoittimet.pdf}
\caption{Virran ja jännitteiden osoitinkuvio}
\label{c1osoittimet}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{c1skooppi.pdf}
\caption{Virran ja jännitteiden mitatut aaltomuodot}
\label{c1skooppi}
\end{figure}

Kuvassa \ref{c1osoittimet} on esitetty teorian mukaiset jännitteet osoitinkuviona
ja kuvassa \ref{c1skooppi} oskilloskoopilla mitatut aaltomuodot.

\subsection{Siirtofunktio}
Johdetaan RC-ylipäästösuotimen siirtofunktion lauseke:
\[{\bf H}(f) = \frac{{\bf V}_o}{{\bf V}_i}
= \frac{R \cdot {\bf V}_i / (R + {\bf Z}_C)}{{\bf V}_i}
= \frac{R}{R + \frac{1}{\j 2 \pi f C}}
= \frac{1}{1 + \frac{1}{\j 2 \pi f R C}}\]

Mittauksissa siirtofunktio määritettiin mittaamalla ulostulojännitteen
huippuarvo ja vasteen ja syötteen välinen aikaero. Koska aikaero on
mittauksissa negatiivinen, on vaste edellä
ja kulma on positiivinen.
\label{siirtmaar}
\[
{\bf H}(f) = \left( \frac{V_o^\text{huippu}}{V_i^\text{huippu}} \right)
  \angle \left( \frac{\Delta t}{T} \cdot 360^\circ \right)
= \left( \frac{V_o^\text{huippu}}{\sqrt{2} \cdot 5\unit{V}} \right)
  \angle \left( - \Delta t \cdot f \cdot 360^\circ \right)
\]

\begin{tabular}{r|r|r}
Taajuus $f$ (kHz) & Laskettu arvo & Mitattu arvo\\
\hline
1 & $0.24 \angle 76^\circ$ & $0.23 \angle 79^\circ$ \\
2 & $0.44 \angle 64^\circ$ & $0.41 \angle 65^\circ$ \\
5 & $0.77 \angle 39^\circ$ & $0.71 \angle 43^\circ$ \\
10 & $0.93 \angle 22^\circ$ & $0.83 \angle 25^\circ$ \\
20 & $0.98 \angle 12^\circ$ & $0.91 \angle 11^\circ$
\end{tabular}

Siirtofunktion arvo laskettiin teorian perusteella ja mitattiin oskilloskoopilla
muutamilla eri taajuuksilla. Tulokset on esitetty taulukossa sekä
kuvassa \ref{c2kayra}.

Amplitudivasteen mittapisteet osuvat hieman teorian mukaisen käyrän alapuolelle.
Virhe on kuitenkin vain noin $10\unit{\%}$, ja selittyy nimellisarvojen
ja sisääntulojännitteen epätarkkuuksilla.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{c2kayra.pdf}
\caption{RC-suotimen siirtofunktio}
\label{c2kayra}
\end{figure}

\subsection{Tuloimpedanssi}
Muodostetaan RC-suotimen tuloimpedanssin lauseke, kun ulostulossa ei ole kuormaa:
\[{\bf Z}_i = R + {\bf Z}_C = R + \frac{1}{\j \omega C}
= 390 \unit{\Omega} + \frac{1}{\j 2 \pi f \cdot 0.1\unit{µF}}\]

Taajuudella $2\unit{kHz}$ tuloimpedanssi on:
\[
{\bf Z}_i^{2\unit{kHz}} \approx 390 \unit{\Omega} - \j 796 \unit{\Omega}
\approx 886 \angle -64 \unit{\Omega}
\]

Impedanssin määritykseen tarvittavat tiedot on jo mitattu kohdassa \ref{siirtmaar}:
\[
{\bf Z}_i^{2\unit{kHz}} = \frac{{\bf V}_i}{\bf I} = \frac{{\bf V}_i R}{{\bf V}_o}
= \frac{R}{H(2\unit{kHz})} = \frac{390\unit{\Omega}}{0.41 \angle 65^\circ}
\approx 951 \angle -65^\circ \unit{\Omega}
\]

\subsection{Lähtöimpedanssi}
Lähtöimpedanssin määrittämistä varten muodostetaan piirin Theveninin ekvivalentti.
Sitä varten lasketaan piirin ulostulojännite kuormittamattomana sekä virta oikosulussa.

\[
{\bf V}_o^\text{tyhjäkäynti}
= {\bf V}_i \frac{R}{R + {\bf Z}_C}
\\
{\bf I}_o^\text{oikosulku} = \frac{{\bf V}_i}{{\bf Z}_C}
\]

\[{\bf Z}_o = \frac{{\bf V}_o^\text{tyhjäkäynti}}{{\bf I}_o^\text{oikosulku}}
= \frac{R}{R + {\bf Z}_C} \cdot {\bf Z}_C
= \frac{1}{\frac{1}{{\bf Z}_C} + \frac{1}{R}}
= \frac{1}{\j \omega C + \frac{1}{R}}
= \frac{1}{\frac{1}{390\unit{\Omega}} + \j 2 \pi f \cdot 0.1\unit{µF}}\]

Taajuudella $2 \unit{kHz}$ lähtöimpedanssi on:
\[
{\bf Z}_o^{2\unit{kHz}} \approx (314 - \j 154)\unit{\Omega}
\approx 350 \angle -26 \unit{\Omega}
\]

Mittauksissa määritettiin yleismittarilla tyhjäkäyntijännite ja oikosulkuvirta
sekä niiden vaihekulmat oskilloskoopilla.

\begin{align*}
{\bf Z}_o &= \left(\frac{|{\bf V}_o^\text{tyhjäkäynti}|}{|{\bf I}_o^\text{oikosulku}|}\right)
\angle \left(arg({\bf V}_o^\text{tyhjäkäynti}) - arg({\bf I}_o^\text{oikosulku})\right)
\\
&= \left(\frac{2.056\unit{V}}{5.97\unit{mA}}\right)
\angle \left((90\unit{µs} - 120\unit{µs}) \cdot 2\unit{kHz} \cdot 360^\circ \right)
= 344 \angle -21.6^\circ \unit{\Omega}
\end{align*}

\section{LC-oskillaattori}
\subsection{LC-piiri värähtelee}
Tarkastellaan LC-piiriä, jossa kela ja kondensaattori on kytketty rinnan.
Lasketaan sen kokonaisimpedanssi:
\[{\bf Z} = \frac{{\bf Z}_L \cdot {\bf Z}_C}{{\bf Z}_L + {\bf Z}_C}\]

Piiri värähtelee kun impedanssi on suurin mahdollinen ($\infty \unit{\Omega}$),
eli kun nimittäjä on nolla:
\[{\bf Z}_L + {\bf Z}_C = \j \omega L + \frac{1}{\j \omega C} = 0
\Leftrightarrow \j \omega^2 L = \frac{\j}{C}
\Leftrightarrow \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}
\Leftrightarrow f = \frac{1}{\sqrt{LC} \cdot 2 \pi}\]

Kun kondensaattori ensin varattiin ja liitettiin sitten värähtelypiiriin,
havaittiin oskilloskoopilla värähtelytaajuudeksi noin $35\unit{µs}$.
Resonanssitaajuus olisi tämän perusteella noin $30\unit{kHz}$.

\subsection{Resonanssi}
Mittauksessa kytkettiin signaaligeneraattori syöttämään energiaa värähtelypiiriin
vastuksen kautta. Suurin amplitudi havaittiin taajuudella $25.3\unit{kHz}$.
Lasketaan tämän perusteella kelan induktanssi:
\[
f = \frac{1}{\sqrt{LC} \cdot 2 \pi}
\\
\Leftrightarrow
\\
f^2 = \frac{1}{LC \cdot 4 \pi^2}
\\
\Leftrightarrow
\\
L = \frac{1}{4 f^2 C \pi^2}
= \frac{1}{4 \cdot (25.3\unit{kHz})^2 \cdot 0.1\unit{µF} \cdot \pi^2}
\approx 396\unit{µH}
\]

\subsection{Kaistanpäästösuodin}
Johdetaan LC-suotimen siirtofunktion lauseke, kun kela ja kondensaattori on
kytketty rinnan ja sisään tuodaan jännite ${\bf V}_i$ vastuksen $R$ kautta.

\[
{\bf Z}_{LC} = \frac{{\bf Z}_L \cdot {\bf Z}_C}{{\bf Z}_L + {\bf Z}_C}
= \frac{\j \omega L \cdot 1/(\j \omega C)}{\j \omega L + 1/(\j \omega C)}
= \frac{L / C}{\j (\omega L - 1/(\omega C))}
= \j \cdot \frac{L/C}{1/(\omega C) - \omega L}
= \frac{\j}{1/(\omega L) - \omega C}
\]

\[
{\bf H}(\omega) = \frac{{\bf V}_o}{{\bf V}_i}
= \frac{{\bf V}_i / (R + {\bf Z}_{LC}) \cdot {\bf Z}_{LC}}{{\bf V}_i}
= \frac{1}{R / {\bf Z}_{LC} + 1}
= \frac{1}{1 + R \frac{1/(\omega L) - \omega C}{\j}}
= \frac{1}{1 + \j R \left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)}
\]

Mittauksissa siirtofunktio määritettiin samalla tavalla kuin kohdassa
\ref{siirtmaar}:
\[
{\bf H}(f) = \left( \frac{V_o^\text{huippu}}{\sqrt{2} \cdot 5\unit{V}} \right)
  \angle \left( - \Delta t \cdot f \cdot 360^\circ \right)
\]

Taulukon lasketuissa arvoissa on käytetty edellisessä kohdassa määritettyä
induktanssia $L = 396\unit{µH}$.

\begin{tabular}{r|r|r}
Taajuus $f$ (kHz) & Laskettu arvo & Mitattu arvo \\
\hline
5.0 & $0.013 \angle 89.3^\circ$ & $0.014 \angle 86.4^\circ$ \\
10.0 & $0.029 \angle 88.3^\circ$ & $0.031 \angle 86.4^\circ$ \\
20.0 & $0.132 \angle 82.4^\circ$ & $0.141 \angle 75.6^\circ$ \\
22.0 & $0.219 \angle 77.3^\circ$ & $0.226 \angle 55.4^\circ$ \\
25.0 & $0.938 \angle 20.2^\circ$ & $0.735 \angle 13.5^\circ$ \\
26.0 & $0.751 \angle -41.3^\circ$ & $0.622 \angle -30.0^\circ$ \\
30.0 & $0.180 \angle -79.6^\circ$ & $0.198 \angle -73.4^\circ$ \\
40.0 & $0.066 \angle -86.2^\circ$ & $0.076 \angle -87.8^\circ$
\end{tabular}

\begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{d3kayra.pdf}
\caption{LC-kaistanpäästösuotimen taajuusvaste}
\label{d3kayra}
\end{figure}

Määritetään kuvaajasta \ref{d3kayra} kaistanleveys 3 dB:n säännön pohjalta,
eli katsotaan taajuudet joilla vaimennus on 3 dB:
\[
|H(\omega)| = 10^{\frac{-3}{20}} \approx 0.708
\]

Päästökaistaksi havaitaan $24.5$ -- $26.1\unit{kHz}$, joten
suotimen kaistanleveys on $1.6\unit{kHz}$.

\section{Modulaatio ja vaihelukko}
\subsection{Amplitudimodulaatio}
Mittauksessa tutkittiin amplitudimodulaation ilmaisemista verhokäyräilmaisimella.
Kantoaallon taajuus oli $1\unit{MHz}$ ja moduloiva signaali $400\unit{Hz}$ siniaalto.

Modulaatioindeksi säädettiin suurimpaan arvoon, jolla ilmaisu vielä toimi.
Tällöin moduloidun kantoaallon värähtelyn
vaihteluväli oli suurimmillaan $B = 8.0\unit{V}$ ja pienimmillään $A = 1.3\unit{V}$. Näistä
saadaan laskettua modulaatioindeksi sekä kantoaallon ja moduloivan aallon amplitudit:
\[
µ = \frac{B - A}{B + A} = \frac{8\unit{V} - 1.3\unit{V}}{8\unit{V} + 1.3\unit{V}} = 0.72
\\
A_c = \frac{B}{2} = 4.0\unit{V}
\\
A_m = µ A_c = 0.72 \cdot 4.0\unit{V} = 2.88 \unit{V}
\]

Ilmaisimen tulo- ja lähtösignaalin amplitudispektri on esitetty kuvassa \ref{e1spektri}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{e1spektri.pdf}
\caption{Verhokäyräilmaisimen syöte ja vaste}
\label{e1spektri}
\end{figure}

\subsection{Digitaalinen vaihelukko 4046}
\begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{e2kuvaajat.pdf}
\caption{Vaihelukon 4046 taajuusominaisuudet}
\label{datalehti}
\end{figure}

Tutkitaan digitaalista vaihelukkoa 4046 valmiiksi rakennetussa kytkennässä.
Kuvassa \ref{datalehti} on 4046-piirin datalehden käyrät lukkiutumisalueen
määrittämiseksi. Niistä saamme taajuuksiksi:
\[
f_{min} = 60\unit{kHz}\\
f_{max} = f_{min} \cdot \frac{f_{max}}{f_{min}} = 114\unit{kHz}
\]

Aluksi mitattiin VCO:n värähtelytaajuudeksi $64.5\unit{kHz}$ ilman tulosignaalia.
Sitten tuotiin TTL-tasoinen tulosignaali signaaligeneraattorista, ja todettiin
lukkiutumisalueeksi $66$--$99\unit{kHz}$.

Piiri lukkiutui lähes $0^\circ$ vaihekulmaan. Taajuudella $99\unit{kHz}$
ulostulo oli 0.2\unit{µs} sisäänmenoa jäljessä, eli ulostulon vaihekulma oli $-7.2^\circ$.

\subsection{Taajuusmodulaatio}
Tutkitaan vaihelukkoa taajuusmodulaation ilmaisimena. Signaaligeneraattori
säädettiin aluksi lukkiutumisalueen puoliväliin $82.5\unit{kHz}$ ja oskilloskooppi
kytkettiin mittaamaan VCO:n ohjausjännitettä.

Signaaligeneraattorin sisäinen modulaatio ($400\unit{Hz}$ sini) kytkettiin
päälle. Modulaatioindeksi säädettiin niin suureksi kuin mahdollista, kuitenkin
niin että moduloiva siniaalto näkyi vääristymättä ohjausjännitteessä $\text{VCO}_\text{IN}$.

Tällöin kantoaallon jakso vaihteli välillä $5$--$7.4\unit{µs}$, eli taajuus
välillä $68$--$100\unit{kHz}$. Lasketaan tämän perusteella modulaatioindeksi:
\[
\beta = \frac{\Delta f_c}{f_m} = \frac{f_{max} - f_{min}}{2 f_m}
= \frac{100\unit{kHz} - 68\unit{kHz}}{2 \cdot 400\unit{Hz}}
\approx 40
\]

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{e3kayra.pdf}
\caption{FM-moduloitu kantoaalto oskilloskoopin ruudulla}
\end{figure}

\end{document}
