
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{title}
\usepackage{geometry}
\geometry{tmargin=25mm,bmargin=25mm,lmargin=15mm,rmargin=15mm}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}

\begin{document}
\selectlanguage{finnish}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 2ex}

\author{205441 Petteri Aimonen}
\date{1.3.2008}

\title{FYS-1150: Laskuharjoitukset 4}
\maketitle

\section{Tehtävä 1}
{\bf A:}
Hidastava voima: $F_µ = µ_k N = µ_k m g$

Liike-energia on yhtä suuri kuin hidastavan voiman tekemä työ:
$\frac{1}{2} m v_0^2 = F_µ s = µ_k m g s$
$\Leftrightarrow s = \frac{v_0^2}{2 µ_k g}$

{\bf B:}
Tunnettu tapaus: $s = 91.2 m, v_0 = 80.0 \frac{km}{h} = 22.222.. \frac{m}{s}, µ_k = ?$
$\Rightarrow µ_k = \displaystyle \frac{v_0^2}{2 s g} = 0.2759...$

Kun nopeus $v_0 = 60.0 \frac{km}{h} = 16.666.. \frac{m}{s}$ ja kitkakerroin sama:
$s = \displaystyle \frac{v_0^2}{2 µ_k g} = 51.31.. m \approx 51.3 m$

\section{Tehtävä 2}
Kiinnitetään koordinaatisto siten, että x-akseli on pallon pinnan suuntainen ja y-akseli kohti pallon keskipistettä.

\includegraphics{fig1.eps}

${\bf G} + {\bf N} = m * {\bf a}$\\
$\Rightarrow G \cos \alpha + N = m a_n$

Nopeus voitaisiin ratkaista x-komponenteista, mutta toisaalta tiedetään, että hiihtäjän potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi:\\
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g r (1 - \cos \alpha)$\\
$\Leftrightarrow v^2 = 2 g r (1 - \cos \alpha)$

Kun hiihtäjä juuri ja juuri pysyy pinnassa, ${\bf N} = {\bf 0}$, eli:\\
$g \cos \alpha = a_n = \displaystyle \frac{2 g r (1 - \sin \alpha)}{r}$\\
$\Leftrightarrow \cos \alpha = 2 - 2 \cos \alpha$\\
$\Leftrightarrow \cos \alpha = 2/3$\\
$\Rightarrow \alpha = 48.189...^{\circ}$

\end{document}
