\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{floatflt, graphicx}
\usepackage{icomma}
\usepackage{float}
\usepackage[normalem]{ulem}

\usepackage{geometry}
\geometry{tmargin=25mm,bmargin=25mm,lmargin=20mm,rmargin=20mm}

\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{pslatex}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[center]{subfigure}
\setlength{\heavyrulewidth}{1.1pt}

\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\lhead{Fysiikan työt 1: Balmerin sarja}
\chead{}
\rhead{\thepage/\pageref{LastPage}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\newcommand{\unit}[1]{\ensuremath{\, \mathrm{#1}}}
\newcommand{\ohm}[0]{\unit{\Omega}}
\newcommand{\volt}[0]{\unit{V}}
\newcommand{\amp}[0]{\unit{A}}

% Kuvatekstit eri fontilla
\usepackage[hang,bf]{caption}
\renewcommand{\captionfont}{\it\small}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks,%
    citecolor=black,%
    filecolor=black,%
    linkcolor=black,%
    urlcolor=black,%
    bookmarksnumbered=true
}


\begin{document}

\selectlanguage{finnish}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 2ex}

% Vähennetään ylenpalttista tavutusta
\hyphenpenalty=5000
\tolerance=2000

\thispagestyle{empty}

\begin{tabular}{|p{2.0cm}|p{5.0cm}|p{8cm}|}
\hline TTY  &  FYS-1010 Fysiikan työt I        &  10.10.2011 \\
\hline APa  &  4.2 Balmerin sarja           &  205441 Petteri Aimonen TELE 4 vsk. \\
            &                               &  211395 Mikko-Pekka Niemistö TL 2 vsk. \\
\hline
\end{tabular}

\newpage

\thispagestyle{empty}

\tableofcontents

\newpage
\pagenumbering{arabic}
\section{Johdanto}
Vedyn spektrillä on tärkeä osuus fysiikan historiassa atomin rakenteen selvittämisen kannalta.
Tässä työssä määritettiin vetylampun spektriviivojen aallonpituudet mittaamalla hilan läpi kulkeneiden valonsäteiden kulmat.
Tuloksista laskettiin kokeellinen arvo Rydbergin vakiolle, jota verrattiin teorian perusteella johdettuun.
Tavoitteena oli lisäksi tutustua spektrometrin käyttöön ja spektriviivojen syntyyn liittyvään teoriaan eli atomien energiatasoihin.

\section{Teoria}
Bohrin atomimallissa elektronit ovat jakautuneet pallomaisille elektronikuorille, kuten kuvassa \ref{energiatasot}.
Mitä kauempana elektroni on atomin ytimestä, sitä suurempi on sen energia.
Kuoret vastaavat siis eri energiatasoja joilla elektroni voi olla, eikä elektroni voi olla energiatasojen välisellä alueella.
Elektroni siirtyy korkeammalle energiatasolle, kun jokin toinen siihen törmäävä hiukkanen luovuttaa sille energiaa.
Elektronin palatessa takaisin alemmalle energiatasolle energioiden erotus emittoituu fotonina.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=50mm]{energiatasot.pdf}
\caption{Balmerin sarjaan liittyvät energiatasot Bohrin atomimallilla esitettynä.}
\label{energiatasot}
\end{figure}

Energiatasoja on teoriassa äärettömästi, mutta käytännössä vedyn elektroneilla on hyvin harvoin niin paljoa energiaa että ne siirtyisivät 7. kuorta ulommas.
Lisäksi uloimmat kuoret ovat lähempänä toisiaan, jolloin niiden välisistä siirtymistä emittoituvat fotonit ovat näkyvän valon alueen ulkopuolella.
Koska eri tasoja ja siten mahdollisia siirtymiä on rajallisesti, koostuu puhtaan alkuaineen säteilyspektri erillisistä \emph{spektriviivoista}.

Balmerin sarjaksi kutsutaan niitä vedyn siirtymiä, jotka syntyvät elektronin siirtyessä ylemmältä kuorelta 2. kuorelle.
Niissä syntyy näkyvän valon alueella olevia fotoneita, jotka voidaan nähdä silmin spektrometrin avulla.

Balmer kuvasi sarjan aallonpituudet kaavalla, joka nykyään kirjoitetaan yleensä muodossa
\begin{equation}
\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)
\end{equation}
jossa $m$ on elektronin viritystila ja $R$ Rydbergin vakio.
Balmerin sarjassa viritystilan $m$ arvot 3, 4 ja 5 vastaaville spektriviivoille on annettu nimet $H_\alpha$, $H_\beta$ ja $H_\gamma$.

Tässä työssä lasketaan kokeellisesti mitattujen aallonpituuksien avulla Rydbergin vakio, eli
\begin{equation}
\label{eq_rydberg}
R = \left[ \lambda \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right) \right]^{-1}
\end{equation}

Aallonpituuksien mittaamiseen käytetään spektrometriä, jossa hyödynnetään hilassa tapahtuvaa diffraktiota.
Diffraktiossa hilan raoista kulkevat valonsäteet interferoivat kulmasta riippuen siten, että ne joko kumoavat tai vahvistavat toisiaan.
Näin syntyvät niinkutsutut diffraktiomaksimit, joiden kulma riippuu säteen aallonpituudesta.

Spektrometrillä havaitun diffraktiomaksimin kulmasta voidaan selvittää sen aiheuttaneen säteen aallonpituus
\begin{equation}
\label{eq_aallonpituus}
\lambda = \frac{d \sin \alpha_n}{n}
\end{equation}
jossa $n$ on diffraktion kertaluku \cite{pruju}.
Kertaluku $n$ tiedetään käytännössä siitä, että suuremman kertaluvun maksimit ovat kauempana keskikohdasta ja silmin havaittavat värit
vuorottelevat aallonpituuden mukaisesti.

Tuloksena saatua Rydbergin vakiota verrataan teoreettiseen arvoon.
Saatavilla on kirjallisuusarvoja, mutta arvon voi myös johtaa Bohrin atomimallista.

Ympyräliikkeessä elektronin ja ytimen välisen sähköisen vetovoiman on oltava yhtä suuri kuin radan säteestä ja elektronin nopeudesta riippuva keskeiskiihtyvyys.
Lisäksi Bohrin kvanttiehto rajoittaa säteen tiettyihin arvoihin.
Laskemalla yhteen elektronin potentiaalienergian ja kineettisen energian saamme sille kokonaisenergian.
Eri säteiden välisestä energiaerosta voidaan johtaa Rydbergin vakio \cite{pruju}:
\begin{equation}
\label{eq_rydbergteoria}
R = \frac{m_e \, e^4}{8 \, \epsilon_0^2 \, h^3 \, c}
\end{equation}

Nykyiset fysiikan teoriat kvanttimekaniikasta laajentavat Bohrin atomimallia käsitteellisellä tasolla, mutta ovat yhtäpitäviä näiden perusmittausten tulosten kanssa.

\section{Työn suoritus}
Työssä käytettiin vetylamppua, hilaa ja spektrometriä kuvan \ref{koejarjestely} mukaisessa koejärjestelyssä.
Vetylamppu kytkettiin päälle ja sen annettiin lämmetä n. 10 minuuttia ennen mittauksia.

Hilaan kirjoitettu viivaluku kirjattiin ylös mittauspöytäkirjaan.
Hila asetettiin spektrometrin pidikkeeseen siten, että teksti on katsojaan päin ja hila on kohtisuorassa suhteessa säteen tulosuuntaan.

Spektrometrin okulaaria käännettiin, kunnes lampusta suoraan tuleva säde osui tarkalleen keskelle hiusristikkoa.
Tämän jälkeen okulaari lukittiin ja kulma-asteikko säädettiin näyttämään 0°.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{spektrometri.pdf}
\caption{Havainnekuva koejärjestelystä.}
\label{koejarjestely}
\end{figure}

Spektriviivojen mittaamiseksi okulaaria käännettiin hitaasti, ja kaikki kirkkaat viivat kirjattiin ylös.
Tarkan kulman määrittämiseksi okulaari lukittiin ja hienosäädettiin siten, että hiusristikko oli spektriviivan keskellä.
Kulman kokonaiset asteet luettiin spektrometrin pääasteikolta ja ensimmäinen desimaali apuasteikolta.
Mittauspöytäkirjaan kirjattiin ylös silmin havaittu väri ja tarkka kulma.

Mittaukset tehtiin sekä vasemmalta että oikealta puolelta 0°-70° väliltä, mikä oli spektrometrin mekaaninen toiminta-alue.

\section{Mittaustulokset ja havainnot}
Hilaan oli merkitty viivatiheys 600~viivaa/mm. Havaitut spektriviivat on listattu taulukossa \ref{kulmat}.

\begin{table}[htb]
\centering
\caption{Spektrometrillä mitatut spektriviivojen kulmat.}
\label{kulmat}
\begin{tabular}{llrr}
\toprule
Kertaluku & Väri & Kulma vasemmalta & Kulma oikealta \\
\midrule
1. & Violetti   & -15,1° & 15,1° \\
   & Sinivihreä & -17,0° & 17,1° \\
   & Punainen   & -23,3° & 23,4° \\
2. & Violetti   & -31,5° & 31,8° \\
   & Sinivihreä & -35,8° & 36,0° \\
   & Vihreä     & -50,9° &       \\
   & Punainen   & -52,0° & 52,8° \\
3. & Sinivihreä & -67,1° & 62,0° \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Mitattaessa toista kertalukua keskikohdan vasemmalta puolelta havaittiin punaisen viivan lähellä odottamaton vihreä viiva.
Se voi olla osa jakautunutta spektriviivaa tai johtua jostain muusta syystä.
Vierekkäiset punainen ja vihreä spektriviiva jätetään siksi huomioimatta aallonpituuksien laskennassa.

Kolmannen kertaluvun viivoista vain sinivihreä viiva oli havaittavissa. Punainen viiva jäi säätöalueen ulkopuolelle ja violetti oli liian himmeä.

\section{Tulosten laskenta}
Taulukossa \ref{aallonpituudet} on laskettu spektriviivojen aallonpituudet kaavan \ref{eq_aallonpituus} avulla.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Kulmien perusteella lasketut spektriviivojen aallonpituudet.
Vasemmalta puolelta saatu 3. kertaluvun tulos jätettiin pois laskuista, koska se poikkesi huomattavasti sarakkeen muista arvoista.}
\label{aallonpituudet}
\begin{tabular}{lrrr}
\toprule
Kertaluku & $H_\alpha$ (nm) & $H_\beta$ (nm) & $H_\gamma$ (nm) \\
          & punainen & sinivihreä & violetti \\
\midrule
1. vasemmalta & 659,2 & 487,3 & 434,2 \\
1. oikealta   & 661,9 & 490,1 & 434,2 \\
2. vasemmalta &       & 487,5 & 435,4 \\
2. oikealta   & 663,8 & 489,8 & 439,1 \\
3. vasemmalta &       & \sout{511,8} & \\
3. oikealta   &       & 490,5 & \\
\midrule
Keskiarvo     & 661,6 & 489,0 & 435,7 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Aallonpituuksista pystytään laskemaan Rydbergin vakio vedylle kaavalla \ref{eq_rydberg}.
Taulukossa \ref{rydbergit} on esitetty kunkin spektriviivan aallonpituuksista saadut arvot, sekä keskiarvo niistä.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Aallonpituuksista lasketut Rydbergin vakion arvot.}
\label{rydbergit}
\begin{tabular}{lrrr}
\toprule
Spektriviiva & $m$ & $R$ ($\unit{\frac{1}{m}}$) \\
\midrule
$H_\alpha$ & 3 & $1,088 \cdot 10^7$ \\
$H_\beta$  & 4 & $1,090 \cdot 10^7$ \\
$H_\gamma$ & 5 & $1,093 \cdot 10^7$ \\
\midrule
Keskiarvo  & & $1,091 \cdot 10^7$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Teoreettinen arvo Rydbergin vakiolle saadaan kaavalla \ref{eq_rydbergteoria}:
\begin{equation}
R = 1,097 \cdot 10^7 \unit{\frac{1}{m}}
\end{equation}

\section{Virhearvio}
Tulokseen vaikuttavat tekijät ovat hilavakio $d$ ja taipumiskulman $\alpha$ mittaustarkkuus.
Hilavakion oletetaan olevan niin tarkka, ettei se merkittävästi vaikuta tulokseen.

Taipumiskulman mittaukseen vaikuttaa tarkkuus, jolla okulaarin hiusristikko on säädetty spektriviivan keskelle, kulman lukutarkkuus asteikolta sekä spektrometrin geometrinen ja optinen täsmällisyys.

Ensimmäisen kertaluvun spektriviivat olivat kirkkaita ja hiusristikon sai kohdistettua hyvin tarkasti, alle 0.1° virheellä.
Kulma-asteikon tarkkuus oli 0.1°, mutta apuasteikon lukema riippui hieman siitä, kuinka täsmällisesti kohtisuoraan sitä luki.
Siksi mittaustarkkuudeksi 1. kertaluvulle arvioitiin 0.2°.

Toisen ja kolmannen kertaluvun viivat olivat himmeämpiä, joten hiusristikon tarkka kohdistus oli vaikeaa.
Siksi toisen ja kolmannen kertaluvun tarkkuudeksi arvioitiin 0.4°.

\subsection{Aallonpituuden maksimivirhe}
Kun tunnetaan taipumiskulman mittaustarkkuus, saadaan derivoimalla kaava \ref{eq_aallonpituus} yksittäisestä mittauksesta lasketun aallonpituuden maksimivirhe:
\begin{equation}
\label{aallonpituusvirhe}
\Delta \lambda = \Delta \alpha_n \left| \frac{\partial \lambda}{\partial \alpha_n} \right| = \Delta \alpha_n \left| \frac{d \cos \alpha}{n} \right|
\end{equation}
jossa $\alpha$ on radiaaneina.
Aallonpituuden virhe $\Delta \lambda$ riippuu siis taipumiskulmasta ja kertaluvusta, eli on joka mittaustilanteelle eri.

Tuloksena käytettävän keskiarvon maksimivirhe on välitulosten maksimivirheiden keskiarvo:
\begin{equation}
\label{keskiarvovirhe}
\Delta \bar{x} = \sum^{k}_{i=1} \Delta x_i \left| \frac{\partial \bar{x}}{\partial x_i} \right| = \sum^{k}_{i=1} \Delta x_i \left| \frac{1}{k} \right| = \frac{1}{k} \sum^{k}_{i=1} \Delta x_i
\end{equation}

Taulukossa \ref{aallonpituusvirheet} on esitetty taulukon \ref{aallonpituudet} tuloksia vastaavat maksimivirheet.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Aallonpituuksien maksimivirheet kaavojen \ref{aallonpituusvirhe} ja \ref{keskiarvovirhe} avulla mittaustarkkuudesta laskettuna.}
\label{aallonpituusvirheet}
\begin{tabular}{lrrrr}
\toprule
Kertaluku & $\Delta \alpha$ (°) & $\Delta H_\alpha$ (nm) & $\Delta H_\beta$ (nm) & $\Delta H_\gamma$ (nm) \\
\midrule
1. vasemmalta & 0,2 & 5,6 & 5,6 & 5,3 \\
1. oikealta   & 0,2 & 5,6 & 5,6 & 5,3 \\
2. vasemmalta & 0,4 &     & 5,0 & 4,7 \\
2. oikealta   & 0,4 & 4,9 & 4,7 & 3,5 \\
3. oikealta   & 0,4 &     & 1,8 & \\
\midrule
Keskiarvon maksimivirhe & & 5,4 & 4,6 & 4,7 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Taulukkoon \ref{aallonpituuskirjallisuus} on kerätty aallonpituuksille saadut tulokset, sekä kirjallisuudessa mainitut arvot.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Yhteenveto aallonpituuksille saaduista tuloksista.}
\label{aallonpituuskirjallisuus}
\begin{tabular}{llll}
\toprule
         & $H_\alpha$ (nm) & $H_\beta$ (nm) & $H_\gamma$ (nm) \\
\midrule
Mitattu      & $661,6 \pm 5,4$ & $489,0 \pm 4,6$ & $435,7 \pm 4,7$ \\
Kirjallisuus \cite{physics} & 656,3 & 486,1 & 434,1 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Mittauksista saadut tulokset ovat virherajojen sisällä kirjallisuusarvoista.
Huomionarvoisesti kaikki mitatut tulokset ovat kirjallisuusarvoja suurempia, mikä viittaa systemaattiseen virheeseen mittauslaitteistossa.

Syynä voi olla esimerkiksi hilavakion epätarkkuus tai se, että hila ei ole täysin keskellä okulaarin kääntöakselia.
Jälkimmäisen, \emph{geometrisen}, epätarkkuuden vaikutus on sitä suurempi, mitä jyrkemmässä kulmassa olevaa sädettä mitataan.
Näin näyttäisi käyvän myös taulukon \ref{aallonpituudet} tuloksissa, koska suurempien kertalukujen tulokset ovat kauempana kirjallisuusarvoista.

\subsection{Rydbergin vakion maksimivirhe}
Derivoidaan kaavasta \ref{eq_rydberg} maksimivirhe yksittäisestä spektriviivasta lasketulle Rydbergin vakiolle:
\begin{equation}
\label{eq_rydbergvirhe}
\Delta R = \Delta \lambda \left[ \lambda^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right) \right]^{-1}
\end{equation}

Taulukossa \ref{rydbergvirheet} on laskettu eri aallonpituuksista saatujen arvojen maksimivirheet, sekä tuloksena käytetyn keskiarvon maksimivirhe.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Rydbergin vakion maksimivirhe}
\label{rydbergvirheet}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
Spektriviiva & $\Delta R$ ($m^{-1}$) \\
\midrule
$H_\alpha$ & $0,009 \cdot 10^-7$\\
$H_\beta$  & $0,011 \cdot 10^-7$\\
$H_\gamma$ & $0,014 \cdot 10^-7$\\
\midrule
Keskiarvon maksimivirhe & $0,011 \cdot 10^-7$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Laskettu arvo $1,091 \cdot 10^7 \unit{\frac{1}{m}}$ on mittaustarkkuuden rajoissa teoreettisesta arvosta $1,097 \cdot 10^7 \unit{\frac{1}{m}}$.

\section{Yhteenveto}
Balmerin sarjan aallonpituudet sekä Rydbergin vakio saatiin määritettyä 1\% tarkkuudella. Tulokset ovat taulukossa \ref{yhteenveto}.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Yhteenveto mittaustuloksista.}
\label{yhteenveto}
\begin{tabular}{lrr}
\toprule
Suure & Kokeellinen arvo & Teoreettinen arvo \\
\midrule
$H_\alpha$ aallonpituus & $661,6 \pm 5,4$ nm & 656,3 nm \\
$H_\beta$ aallonpituus & $489,0 \pm 4,6$ nm & 486,1 nm \\
$H_\gamma$ aallonpituus & $435,7 \pm 4,7$ nm & 434,1 nm \\
Rydbergin vakio $R$ & $(1,091 \pm 0,011) \cdot 10^7 \unit{\frac{1}{m}}$ & $1,097 \cdot 10^7 \unit{\frac{1}{m}}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Merkittävimmän virhelähteen todettiin olevan systemaattinen.
Todennäköisin syy sille on poikkeama hilan sijainnin ja spektrometrin kääntöakselin välillä.

\section{Kirjallisuusviitteet}
\renewcommand\refname{\vspace{-5ex}}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{pruju} TTY Fysiikan Työt 1 opintomoniste, 2011.
\bibitem{maol} MAOL taulukot, 4. uudistettu painos, Otava 2003.
\bibitem{physics} Young, H. D. ja Freedman, R. A., University Physics, 10. painos, Addison-Wesley 2000.
\end{thebibliography}

\section{Liitteet}
Liite 1: alkuperäinen mittauspöytäkirja.

\end{document}
