\section{Sovellusalue}
Vaikka keksinn�lle voi olla muitakin k�ytt�tarkoituksia, keskeisin on omasta mielest�ni lentolaitteet. Ilmalaivat ja kuumailmapallot
ovat energiatehokkaita, sill� kannattava voima syntyy ymp�r�iv�n ilman nosteesta. Siksi ilmassa pysymiseen ei kulu energiaa lainkaan.
Perinteisesti nosteeseen perustuvissa lentolaitteissa on k�ytetty joko vety�, heliumia tai kuumaa ilmaa nosteen luomiseen.

Vety on kevyin mahdollinen kaasu, sill� kaasumaisen aineen tiheys NTP-oloissa on suoraan verrannollinen kaasun moolimassaan, ja vedyll�
on pienin mahdollinen moolimassa (koska sen ytimess� on vain yksi nukleoni). Kaasun massa kasvattaa lentolaitteen massaa, joten t�ytekaasun
pit�isi olla mahdollisimman kevytt�, kuten vety�. Lis�ksi vety� on helppo valmistaa elektrolyysin avulla vedest�. Vety on kuitenkin herk�sti syttyv��, mink� vuoksi
sit� ei k�ytet� ilmalaivoissa en�� nyky��n.

Toiseksi kevyin alkuaine, helium, on jalokaasu ja siten palamaton. Sit� valmistetaan nesteytt�m�ll� ilmaa ja tislaamalla eri kaasut erilleen.
Heliumin hinta on kohtuullisen korkea valmistuksen vaatiman matalan l�mp�tilan vuoksi. Laskeuduttaessa on t�ytekaasua p��stett�v�
ilmakeh��n, joten kaasun hinnalla on vaikutusta my�s k�ytt�kustannuksiin. Tosin olisi luultavasti mahdollista pumpata kaasu my�s takaisin
pulloihin. Helium on my�s nelj� kertaa painavampaa kuin vety, joka luonnollisesti vaikuttaa tarvittavan pallon kokoon.

Kuumailmapalloissa hy�dynnet��n ilman l�mp�laajenemista. Koska l�mminkin ilma on huomattavasti vety� ja heliumia tihe�mp��, tarvitaan
pienen korin nostamiseen suuri pallo. Ilman pit�minen l�mpim�n� vaatii energiaa, mutta toisaalta laskeutuminen onnistuu helposti 
polttimen sammuttamisella. Pienet aukot kuoressa eiv�t haittaa, sill� poltin l�mmitt�� poistuneen kuuman
ilman tilalle siirtyneen ymp�r�iv�n kylm�n ilman.

\section{Ratkaisumalli}
T�ytekaasun sijasta voidaan k�ytt�� my�s alipainetta, sill� alipaineinen kaasu vie suuremman tilavuuden kuin vastaava massa normaalipaineista kaasua. Tyhji�
on tila, jossa ei ole kaasua lainkaan. Siten tietynkokoisella pallolla saadaan suurin mahdollinen hy�ty nosteesta.
Tyhji�t� ei ole k�ytetty nosteen luomiseen, sill� tyhji�n yll�pit�miseksi tarvitaan tukirakenne, joka kest�isi ymp�r�iv�n ilmanpaineen.

Kuoreen kohdistuvan voiman
voi kuitenkin tavallaan ``kumota'' keskeiskiihtyvyyden avulla. Ratkaisua on helpompi ajatella keskipakoisvoima-k�sitteen kautta, vaikka kyseist� voimaa ei oikeastaan
ole olemassa. Ideana on tehd� py�riv� kuorirakenne, jolloin sopivalla nopeudella ulkoinen ilmanpaine aiheuttaakin vain kuoren materian joutumisen ympyr�radalle.
Kuorirakenteen ei tarvitsisi t�ll�in kest�� kuin py�rimisen aiheuttava radansuuntainen voima.

Jos kuori tehd��n venyv�st� aineesta, my�s tyhji� (tai oikeastaan kuoren sis��n v��j��m�tt� j��v�n ilman vuoksi alipaine) voidaan luoda ilman pumppuja. Kuori
kiinnitet��n muuhun rakenteeseen niin, ettei niiden v�liin j�� kiinnitysvaiheessa tilaa. Sen j�lkeen moottori kytket��n p��lle, jolloin kuoren tilavuus kasvaa ja
kaasun paine siten pienenee. Laskeutumisessa moottorin py�rimisnopeutta voidaan pienent��, jolloin kuori kutistuu ja noste siten pienenee.

Olettaen ett� kuori on muodoltaan symmetrinen py�rimisakselin suhteen, on ilmanvastus melko pieni. Siksi py�rimisen yll�pit�miseen ei tarvita erityisesti voimaa.
My�s kiihdytt�minen voidaan tehd� hitaasti, jolloin kuoreen vaikuttavat voimat ovat hyvin pieni�, ja kuorimateriaali voi siten olla kevytt�.

\pagebreak

\section{Teoreettiset edellytykset}

\begin{wrapfigure}[9]{r}{4.5cm}
\centering
\includegraphics{teoriafig1.eps}
\caption{Kuoren yksitt�isen pisteen rata}
\end{wrapfigure}

Tarkastellaan kuoren yht� pinta-ala-alkiota ja siihen vaikuttavia voimia. $\bf{F}$ on ulkoisen ilmanpaineen aiheuttama voima. Nopeus $\bf{v}$ on kuoren
ratanopeus. Voima $\bf{F}$ ja ratanopeus m��r��v�t radan s�teen, joka puolestaan m��r�� kuoren tilavuuden ja siten sen syrj�ytt�m�n ilman m��r�n.
Tutkitaan tarvittavaa py�rimisnopeutta:

\begin{commentmath}
F = a_n m \\
F = \frac{v^2}{r} \cdot m \mathsep \mbox{kulmanopeus $\omega$} \\
F = \frac{(r \omega)^2}{r} \cdot m \\
F = r \cdot \omega^2 \cdot m \mathsep : (\omega^2 \cdot m) \\
r = \frac{F}{\omega^2 \cdot m}
\end{commentmath}

Havaitaan yll�tt�en, ett� radan s�de on \emph{k��nt�en verrannollinen} kulmanopeuteen. T�m� johtuu nopeuden tarkastelusta kulmanopeuden
kautta, jolloin kaukana keskipisteest� ratanopeus on suurempi. Laajan kuoren tukemiseen tarvittaisiin siten vain pieni py�rimisnopeus, mutta vastusvoimien
momentti olisi samalla suurempi, eli moottorin t�ytyisi olla voimakkaampi. Lis�ksi ohut kuori ei pysty v�litt�m��n kovin suuria voimia akselilta ulkokeh�lle.
J�tet��n n�m� k�yt�nn�n rajoitukset kuitenkin huomioimatta viel� t�ss� vaiheessa.

Jos kuoren halutaan laajenevan itsest��n tavoitteena olevaan kokoon, on siihen vaikuttavan ulkoisen ilmanpaineen oltava koko kiihdytyksen ajan pienempi
kuin senhetkisen radan vaatima normaalikiihtyvyys. Ratanopeushan kasvaa suhteessa s�teeseen vaikka kulmanopeus pysyisi vakiona.

\begin{commentmath}
F < a_n m\\
F < r \cdot \omega^2 \cdot m
\end{commentmath}

Ep�yht�l�n vasen puoli eli pintaan vaikuttava voima on vakio, ja oikealla puolella $\omega$ on vakio. Pinta-ala-alkion massa $m$ kuitenkin muuttuu, sill�
pinta ohenee venyess��n. Koska koko kuoren massa on vakio, riippuu $m$ koko kuoren pinta-alasta. Oletetaan, ett� kuoren
korkeus on vakio, eli se venyy vain s�teen suunnassa. Kuori on muusta muodostaan riippumatta symmetrinen py�rimisakselin suhteen, joten sit� voidaan tarkastella
jaettuna pystysuunnassa pieniin ympyr�lieri�n muotoisiin segmentteihin. T�ll�in pinta-ala on suoraan verrannollinen s�teeseen kyseisess� kohdassa, eli massa
pinta-alayksikk�� kohden on k��nt�en verrannollinen s�teeseen.

\begin{wrapfigure}[4]{r}{10cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{teoriafig2.eps}
\caption{Mahdollinen k�yt�nn�n toteutus sek� kuoren muoto}
\end{wrapfigure}

\begin{commentmath}
F < r \cdot \omega^2 \cdot m_A \cdot A \mathsep \mbox{$m_A$ = massa pinta-alayksikk�� kohden}\\
	\mathsep m_A = k \cdot \frac{1}{r}\\

F < r \cdot \omega^2 \cdot k \cdot \frac{1}{r} \cdot A\\
F < \omega^2 \cdot k \cdot A
\end{commentmath}

Nyt ep�yht�l�n kumpikin puoli on vakio, sill� $A$ on tarkasteltavan alueen pinta-ala, eik� riipu s�teest�. On siis olemassa tietty py�rimisnopeus, jolla
ilmanpaineen aiheuttama voima on t�sm�lleen yht� suuri kuin ympyr�radan vaatima keskeiskiihtyvyys.

K�yt�nn�n toteuksen kannalta on t�rke�� saada aikaan tasapainotila, jotta kuori ei laajene rajatta jos nopeus ei ole tarkalleen oikea. Tasapainottava
tekij� syntyy kuitenkin itsekseen, sill� todellisuudessa voima $F$ ei ole vakio. T�m� johtuu siit�, ett� kuoreen vaikuttaa
my�s venyv�n kalvon j�nnitysvoima sek� kuoren sis��n j��neen ilman paine. J�nnitysvoima vastustaa kuoren laajenemista ja on suoraan verrannollinen
kuoren pinta-alaan, eli siten my�s s�teeseen. Sis��n j��neen ilman paine kumoaa ulkoisen paineen vaikutusta ja on k��nt�en verrannollinen kuoren tilavuuteen
($pV = \mbox{vakio} \Leftrightarrow p = \mbox{vakio} \cdot \frac{1}{V}$). Siten voima F on sit� suurempi, mit� suuremmaksi s�de kasvaa (verrannollisuus ei
kuitenkaan ole lineaarista).

